فرمولهاي هندسه تحليلي

صفحه اصلی : صفحه ریاضیات:

فرمول هاي هندسه تحليلي
Analytic Geometry Formulas
اين صفحه براي دوستداران رياضيات و بويژه دانشجوياني است كه بخواهند برنامه هائي براي ترسيمات اتوماتيك و بررسي خطوط ، منحني ها ، سطوح ، و حجم ها بنويسند

هرگاه سابروتين ها و فانكشن هائي به زبانهاي رايج مانند ويژوآل بيسيك و ++C و #C نوشته شود كه كار اين فرمولها را انجام دهند، آنگاه نوشتن برنامه هائي كه كار ترسيمات هندسي را انجام دهد بسيار آسانتر خواهد شد. آموزشگاه ايرانشهر نيشابور حتي المقدور اين موضوع را دنبال خواهد كرد ولي درعين حال از كشوري به بزرگي ايران و با بودن اينهمه دانشگاه انتظار مي رودكه مجموعه هاي متعددي از سابروتين ها و فانكشن ها سالها قبل بوجود مي آمد و در اختيار همگان گذارده مي شد.

	دستگاه مختصات قطبي هم بسيار رايج است. در اين سيستم يك محور داريم و نقطه ي مبداء بر روي آن محور قرار دارد. در اين سيستم نيز هر نقطه را با دو عدد مشخص مي كنيم كه اولين عدد فاصله نقطه از مبداء و دومين عدد اندازه زاويه است. نمونه اي از فرمولهاي دستگاه مختصات قطبي فرمول مارپيچ ارشميدس است : ρ=θ كه در آن ρ فاصله نقطه از مبداء و θ اندازه ي زاويه برحسب راديان است.	در فضاي دو بعدي دستگاه مختصات دكارتي يا مستطيلي رايج ترين دستگاه مختصات است در اين سيستم دو محور عمود بر هم داريم: محور افقي يامحور x و محور عمودي يا محور y . هر نقطه از صفحه با فاصله اش از محور عمودي و فاصله اش از محور افقي مشخص مي شود. در نوشتن مختصات هر نقطه ابتدا فاصله از محور عمودي و بعد فاصله از محور افقي نوشته مي شود . در شكل زير نقطه P به فاصله x از محور عمودي و به فاصله y از محور افقي واقع است. نقطه برخورد دو محور مبداء دستگاه است
	دستگاه مختصات قطبي	دستگاه مختصات مستطيلي
		براي تبديل مختصات قطبي به دكارتي
		براي تبديل مختصات دكارتي به قطبي
	كدام دستگاه مختصات بهتر است؟ قطبي يا مستطيلي؟ هر دو دستگاه مفيدند و با هردو دستگاه مي توان كار كرد. براي اغلب منحني ها هر دو فرمول مستطيلي و قطبي وجود دارد.
		مثلا در شكل بالا دو فرمول دايره را براي دستگاه مختصات مستطيلي و قطبي مي بينيد. دردايره سمت چپ، قطر افقي كه برنگ قرمز نشان داده شده همان محور x است كه به 40 قسمت مساوي تقسيم شده و بازاء هر مقدار x مقدار y آن محاسبه و نقطه ترسيم شده است. ولي مي بينيد كه در روي دايره، فاصله نقاط يكسان نيست. اما در دايره سمت راست، فاصله نقاط كاملا برابر است. اين مثال نشان مي دهد كه در برخي موارد ، يعني مواردي كه متغير مستقل در تابع از جنس زاويه باشد، استفاده از فرمول دستگاه مختصات قطبي بهتر است. برنامه ساده اي بزبان ويژوآل بيسيك نمودار بالا را توليد كرده است. در اين برنامه يك فرم داريم . دو دكمه به نامهاي Mostatili و Ghotbi تعريف شده و شعاع دايره 500 نقطه است. مي خواهيم دايره را با هر دو فرمول دستگاههاي مستطيلي و قطبي رسم كنيم. متغير هاي xm و ym مختصات نقطه مركزي فرم مي باشند. در فرمول قطبي: 360 درجه به 40 قسمت مساوي تقسيم شده در فرمول مستطيلي: مقدار x از 500 - تا 500 + به 20فواصل مساوي 50 نقطه اي تغيير مي كند. بازاء هر مقدار x يك نقطه در بالا و يك نقطه در پائين رسم شده است.
	فضاي دو بعدي: نقاط
		هر نقطه با دو عدد كه مختصات مي ناميم مشخص مي شود. اولين عدد مختصات افقي و دومين عدد مختصات عمودي نقطه است
		فرض كنيد سه نقطه داريم كه نام نقاط و مختصاتشان باين شرح است:
		فاصله بين نقطه P1 و P2
		مختصات نقطه اي كه پاره خط P₁P₂ را به نسبت r/s تقسيم كند
		مختصات نقطه وسط در پاره خط P₁P₂
		براي اينكه سه نقطه بر روي يك خط باشند بايد دترمينان آنها صفر باشد
	فضاي دو بعدي : جهت ها
		هر جهت با دو عدد (a,b) به نام اعداد جهت نما تعيين مي شود بشرطي كه هردوشان صفر نباشند. اين دو عدد مختصات نقطه اي در صفحه است جهت براي همه خطوطي است كه با پاره خط بين مبداء (0,0) و نقطه (a,b) موازي باشند . اعداد جهت نماي (a,b) و اعداد جهت نماي (ra,rb) هردو يك جهت را تعيين مي كنند. در شكل روبرو نقطه a,b جهت را تعريف مي كند و ساير پاره خط ها با آن همجهت مي باشند
		فرض كنيد مقدار r را بدينسان تعيين كنيم
		اگر a برابر صفر نباشد ، علامت r مانند علامت a مي باشد. اگر a=0 و b برابر صفر نباشد، علامت r مانند علامت b مي باشد. اين يعني اولين عدد غير صفر در (ra,rb) مثبت است. وقتي r بدينسان انتخاب شود اعداد جهت نماي (ra,rb) برابر با كسينوس زوايائي است كه خط با محور هاي x و y مي سازد. اين زوايا را كه بترتيب با آلفا alfa و بتا beta مشخص مي كنيم زواياي جهت مي ناميم. و كسينوسهاي alpha و beta را كسينوسهاي جهت مي ناميم كه رابطه ي روبرو بين آندو برقرار است. ولي و . درنتيجه beta زائد است و بكار برده نمي شود.
		زاويه alpha را تمايل يا ميل inclination جهت مي ناميم و مقدار را شيب جهت مي ناميم. بنا بر اين، مي توانيم درباره شيب بينهايت نيز فكر كنيم و آن هنگامي است كه كسينوسهاي جهت برابر با (0,1) باشند كه مخرج كسر صفر مي شود و اندازه تمايل مي باشد يعني جهت عمودي است. و در اينصورت برابر صفر خواهد بود
		با برقرار بودن هر يك از اين سه شرط ، دو جهت با يكديگر موازي اند
		با برقراربودن هر يك از اين سه شرط ، دو جهت بر هم عمودند
		زاويه بين دو جهت با اين فرمول محاسبه مي شود
	(b1,-a1)	اعداد جهتي كه بر جهت (a₁,b₁) عمود باشد
		دو نقطه P1 و P2 جهتي را با اعداد جهت (x₂-x₁,y₂-y₁) تعريف مي كنند كه شيب آن با اين فرمول محاسبه مي شود
	فضاي دو بعدي : خط ها
		خط عبارتست از مجموعه نقاطي با مختصات x,y كه در يك معادله درجه 1 كه معادله خطي مي ناميم صدق كند. فرض كنيد شيب اين خط m باشد ، در نقطه a,0 به محور x و در نقطه 0,b به محور y برخورد كند، زاويه تمايلش را، يعني زاويه اي كه با محور x ميسازد alpha بناميم و زاويه تمايل خطوط عمود بر آنرا omega بناميم.
		آنگاه اين روابط بر قرار است و معادله خط را مي توانيم به هر يك از هشت فرم زير بنويسيم
		فرم 1 - با داشتن شيب خط و محل برخورد با محور عمودي
		فرم 2 - با داشتن مختصات دو نقطه از خط
		فرم 3 - با داشتن شيب خط و مختصات يك نقطه از آن
		فرم 4 - با داشتن محل برخورد خط با دو محور
		فرم 5 - كه فرم normal ناميده مي شود زيرا عمود بر منحني را در زبان انگليسي نرمال مي نامند
		فرم 6 - پارامتريك
		فرم 7 - با داشتن نقطه اي از خط و جهت خط
		فرم 8 - فرم عمومي
		فرمول محاسبه فاصله يك نقطه با مختصات x1,y1 از خط
		فرمول محاسبه مختصات نقطه تقاطع دو خط
	دترمينان ضرايب بايد صفر باشد	شرط همرسي سه خط ، يعني شرطي كه هر سه خط از يك نقطه عبور كنند
		معادله عمود منصف يك پاره خط كه مختصات نقطه آغاز آن x1,y1 ومختصات نقطه پايان آن x2,y2 باشد
		فرمول پارامتريك يك پاره خط بين دو نقطه با مختصات x1,y1 و x2,y2
		دو پاره خط P₁P₂ و P₃P₄ يكديگر را قطع مي كنند اگر و فقط اگر مقادير s و t كه از حل دستگاه دومعادله و دو مجهول زير بدست مي آيد در محدوده بين صفر تا 1 باشد مقادير s و t از فرمولهاي روبرو محاسبه مي شود
	فضاي دو بعدي : مثلث ها
		مساحت مثلثي كه از سه خط زير بدست مي آيد
		دو فرمول براي محاسبه مساحت مثلثي با داشتن مختصات سه راس
		مختصات مركز ثقل مثلث ، رسيدنگاه سه ميانه ي اضلاع
		مختصات مركز دايره محاطي ، رسيدنگاه سه نيمساز زوايا
		مختصات مركز دايره محيطي، رسيدنگاه سه عمود منصف اضلاع
		مختصات رسيدنگاه سه ارتفاع مثلث
		با داشتن مختصات سه راس مثلث و مختصات نقطه ديگري با مختصات x0, y0 مي خواهيم تعيين كنيم كه آيا نقطه x0, y0 در درون مثلث، در روي اضلاع مثلث يا در بيرون مثلث است. مقادير r, s, t را از فرمولهاي روبرو حساب كنيد بعد اگر نقطه در درون مثلث است اگر نقطه روي اضلاع است هر گاه يكي از اين سه عدد صفر باشد و نقطه روي راس است هرگاه دو تا از اين مقادير صفر باشد. و در صورتيكه يكي از اين سه نامعادله درست نباشد نقطه در بيرون مثلث واقع است.
	فضاي دو بعدي: چندضلعي ها
		مساحت يك n ضلعي با رئوس P₁, P₂, P₃, P₄, ...P_n
	فضاي دو بعدي : مقاطع مخروطات
	فرض كنيد در فضاي دو بعدي صفحه، يك خط داريم به نام D و يك نقطه به نام F كه از خط فاصله دارد. حال مي خواهيم همه نقاطي مانند P را بيابيم كه از خط D و نقطه P به فاصله مساوي باشند و بعبارتي ديگر نسبت PF/PD=1 باشد. اين نسبت PF/PD را با حرف انگليسي e نيز نشان مي دهيم كه نشانه كلمه eccentricity به معناي دوري از مركز است. مجموعه نقاط P تشكيل يك منحني بنام سهمي يا Parabola مي دهند. آن نقطه P كه كمترين فاصله را از نقطه F و خط D دارد راس منحني سهمي مي ناميم و با V نشان داده ايم كه مخفف Vertex به معناي راس است. نقطه F به نام كانون سهمي نيز ناميده مي شود. قابل توجه است كه اگر نسبت PF/PD كوچكتر از 1 باشد مجموعه نقاط تشكيل يك بيضي مي دهند و اگر بزرگتر از 1 باشد تشكيل يك هذلولي مي دهند. پاره خطي را كه دو سر آن بر روي منحني باشد و از كانون بگذرد و موازي با خط D باشد به نام Latis Rectum يا وتر مخرج مي ناميم.
	يادآوري دايره مجموعه نقاطي است كه فاصله شان از مركز مقدار ثابتي باشد. سهمي مجموعه نقاطي است با فاصله مساوي از يك نقطه و يك خط. بيضي مجموعه نقاطي است كه مجموع فاصله شان از دو كانون مقدار ثابتي باشد. اگر دو كانون بهم منطبق شوند بيضي دايره مي شود. هذلولي مجموعه نقاطي است كه تفاضل فاصله شان از دو كانون مقدار ثابتي باشد لمنيسكيت مجموعه نقاطي است كه حاصلضرب فاصله شان از دو كانون مقدار ثابتي باشد قابل توجه است كه نقطه، خط، دايره، سهمي، بيضي، و هذلولي از برخورد يك صفحه با مخروط بدست مي آيد.
	با توجه به تعريف فوق از e = PF/PD و خط D با معادله x=-a ، فرمول كلي مقاطع مخروط اين است : با اين قرار كه راس منحني در مختصات و محور منحني با معادله تعريف شود
	فرم هاي مختلف معادله ي هذلولي فرم كلي فرم كلي اگرمحورهاي هذلولي با محورهاي مختصات موازي باشد فرم استاندارد با داشتن مختصات مركز مختصات مركز h,k ، محور عرضي y = k ، و محور ديگر x = h معادله دو خط هادي معادله دو خط مجانب طول وتر مخرج معادله مماس بر منحني در نقطه x1,y1 معادله عمود بر منحني در نقطه x1,y1	فضاي دو بعدي - هذلولي يا هايپربولا Hyperbola پاره خطي كه دو راس هذلولي را بهم وصل كند محور عرضي ناميده مي شود و طول آن برابر 2a مي باشد. وسط آن پاره خط را مركز هذلولي مي ناميم. عمود منصف محور عرضي را محور مزدوج مي ناميم كه طول آن برابر 2b مي باشد. دوري از مركز است و فاصله مركز از هر كانون باندازه ae مي باشد. فاصله مركز تا نزديكترين كانون باندازه است و فاصله مركز با هر يك از دو خط هادي مي باشد. در اينصورت طول وتر مخرج يا Latis Rectum برابر خواهد بود. بنا به تعريف هذلولي، تفاضل فواصل هر نقطه ي منحني از دو كانون باندازه 2a مي باشد.
	فرم هاي مختلف معادله ي سهمي فرم كلي فرم كلي اگر محور منحني افقي باشد فرم كلي با محور منحني عمودي فرم استاندارد مبداء مختصات در راس سهمي است فرم معادله با داشتن مختصات راس	فضاي دو بعدي - سهمي يا پارابولا Parabola چنانكه قبلا گفته شد سهمي مجموعه نقاطي است با فاصله مساوي از يك نقطه ي معين بنام كانون F و يك خط معين بنام D. فاصله راس سهمي تا كانون p=a/2 است. فاصله راس تا خط D برابر با p است. طول وتر مخرج Latus Rectum برابر با 4p مي باشد.
	فرم هاي مختلف معادله ي بيضي فرم كلي فرم كلي با محورهاي موازي با محورهاي دستگاه مختصات فرم استاندارد با داشتن مركز بيضي در نقطه h,k معادله محور بزرگتر k=y و معادله محور كوچكتر h=x است. معادله هاي دو خط هادي و طول وتر مخرج 2b²/a	فضاي دو بعدي - بيضي يا Ellipse مجموع فاصله هاي هر نقطه ي بيضي از دو كانون برابر 2a است. پاره خطي كه دو راس بيضي را بهم وصل كند محور بزرگتر مي ناميم كه طول آن 2a مي باشد. نقطه وسط اين محور مركز بيضي است. محور كوچكتر بيضي بر محور بزرگتر عمود است ، از مركز بيضي مي گذرد و طول آن 2b است. دوري از مركز يا eccentricity را با حرف e نشان مي دهيم و در بيضي مقدار آن كوچكتر از 1 است e = sqrt(a²-b²)/a < 1 فاصله مركز از كانون ها باندازه ae مي باشد. فاصله هر راس از كانون نزديكتر به آن a-ae است. فاصله مركز از دو خط هادي a/e مي باشد و درازاي وتر مخرج 2b²/a است.
	فرم هاي مختلف معادله ي دايره	فضاي دو بعدي - دايره يا Circle دايره در واقع يك بيضي است كه دو كانون بر هم منطبق شده باشند يعني در دايره a = b = r و e=0 است. r شعاع دايره مي باشد.