صفحه اصلی :
صفحه ریاضیات:
چيزهاي ناجنس با هم جمع نميشود چنانكه نمي توانيم سيب و پرتقال را با هم جمع كنيم.
عمل تفريق: تفريق يا كاهش عكس عمل جمع است. از تفريق نيز چيز جديدي بدست نمي آيد. فقط مقدار آن چيز است كه تغيير مي كند. مثلا در شكل روبرو، پاره خطي به طول 5 داريد و پاره اي به طول 3 را از آن تفريق (جدا) مي كنيد. باز هم يك پاره خط داريد كه طول آن 2 است. دو عامل تفريق و حاصل كار همجنس اند.
عمل ضرب: عمل ضرب دو نوع است.
نوع اول : ضرب يك عدد خالص - كه جنس ندارد - در عددي كه جنس دارد . مثلا
12 ميز = 4 ميز ضربدر 3
اين نوع ضرب در واقع مانند اجراي مكرر عمل جمع مي باشد و در رياضي آنرا ضرب اسكالر Scaler مي ناميم زيرا Scale به معناي مقياس است و اين نوع ضرب فقط مقياس را كم و زياد مي كند و جنسيت را تغيير نمي دهد
نوع دوم : ضرب دو عدد كه داراي جنس باشند. مثلا
1 مولكول آب = 1 اتم اكسيژن ضربدر 2 اتم هيدروژن
از ضرب دو عدد داراي جنسيت، جنس جديدي بدست مي آيد. مثلا اگر پاره خطي افقي به طول 5 واحد را در يك پاره خطي عمودي به طول 3 واحد ضرب كنيم، سطحي به شكل مستطيل بوجود مي آيد كه مقدار آن برابر با 15 مربع واحد است. ضرب دو عدد كه داراي جنسيت باشند مانند ازدواج مرد و زن است كه در نتيجه آن فرزند بوجود مي آيد. و يا مانند تركيب عنصرهاي شيميائي است چنانكه از تركيب اكسيژن و هيدروژن جنس ديگري به نام آب بوجود مي آيد. در مثال رويرو براي ضرب، دو پاره خط همجنس نيستند زيرا جهاتشان به يك سمت نيست بلكه بر هم عمودند. از ضرب دو بردار ناهمسو يك بردار سومي بوجود مي آيد كه جهتش عمود بر آندو مي باشد.
عمل تقسيم : عمل تقسيم نيز بر دو نوع مي باشد و قرينه ي عمل ضرب است. مثلا هنگامي كه 15 سيب را به 3 نفر تقسيم كنيم، مي فهميم كه به يك نفر 5 سيب خواهد رسيد. وقتي 2000 تومان مي دهيم و 8 مترپارچه ميخريم، با تقسيم 2000تومان بر 8 متر مي فهميم كه يك متر پارچه 250 تومان است. اگر 8 مترپارچه را بر 2000 تومان تقسيم كنيم مي فهميم كه يك تومان مي تواند فقط 0.004 متر يعني 4 ميليمتر پارچه بخرد!
Sin x = AB / OA
Cos x = OB / OA
Tan x = AB/OB
Cot x = OB/AB
اگر در سطحي با زاويه شيب x به اندازه يك گام حركت كنيم
سينوس زاويه ميزان حركت عمودي است
كسينوس زاويه ميزان حركت افقي است
تانژانت زاويه نسبت حركت عمودي به حركت افقي است
كتانژانت زاويه نسبت مقدار حركت افقي به حركت عمودي است
براي بررسي ساير توابع مثلثاتي كليك كنيد در اينجا
در تصوير روبرو مردي را مي بينيم كه به پيش يعني بسمت ديوار AB ميرود. قبل از آنكه به نقطه O برسد، به هر اندازه كه راه برود، به همان اندازه به ديوار نزديك مي شود.
ولي از نقطه O ببعد، مقدار پيشروي او كمتر از مقداري است كه راه مي رود. براي اينكه فاصله OB را طي كند، بايد باندازه OA راه برود!
بنا به تعريف، سينوس زاويه x كه از تقسيم AB به OA بدست مي آيد نسبت بالاروي است . سينوس زاويه بما مي گويد كه اگر يك واحد حركت كنيم، چقدر بالا (عمودي) مي رويم.
بنا به تعريف، كسينوس زاويه x كه از تقسيم OB به OA بدست مي آيد نسبت پيشروي است.
كسينوس زاويه بما مي گويد اگر يك واحد طول حركت كنيم، چقدر به پيش (افقي) مي رويم.
مقدار زاويه x تعيين مي كند كه راهپيمائي ما چقدر بالارو و چقدر پيشرو است. اگر زاويه x برابر با 90 درجه باشد، آنگاه هرگز به نقطه B نخواهيم رسيد. اگر زاويه x برابر با صفر درجه باشد، با هرگام باندازه يك گام به سمت B نزديك مي شويم و اگر زاويه x برابر با 60درجه باشد، آنگاه با دو گام حركت، باندازه يك گام به پيش مي رويم زيرا Cos60=0.5
مقدار پيشروي = مقدار حركت در سطح شيبدار ضربدر Cos x
مقدار بالاروي = مقدار حركت در سطح شيبدار ضربدر Sin x
فرض كنيم A عدد بزرگتر و B عدد كوچكتر باشد.
گام 1 - A را به B تقسيم كن و باقيمانده را در R بگذار
گام 2 - اگر R=0 باشد، B بزرگترين مقسوم عليم مشترك است. پايان آلگوريتم.
گام 3 - مقدار B را در A بگذار
مقدار R را در B بگذار
بازگرد به گام 1
تابستان پارسال كه در يك آهنگري كارآموز بودم استادكارم دو قرقره ميل گرد داشت كه طول يكي از آنها 245 متر و طول ديگري 42 متر بود. بمن دستورداد اين دو قرقره را به قطعات مساوي ببرم.
فكر كردم و ديدم براي اينكه طول قطعات مساوي باشد،
قرقره كوچك به قطعات 1 متر، 2 متر، 3 متر، 6 متر، 7 متر، 14 متر، 21 متر و
قرقره بزرگ به قطعات 1 متر، 5 متر، 7 متر، و 35 متر قابل تقسيم است.
به عبارت ديگر، اعداد 1 و 2 و 3 و 6 و 7 و 14 و 21 در 42 مي گنجند و
اعداد 1 و 5 و 7 و 35 در 245 مي گنجند. پس عدد 1 و 7 در هردو
مي گنجند و در بين ايندو عدد، 7 بزرگترين است.
در نتيجه با اطمينان كامل، هردو قرقره را به قطعات 7 متري اره كردم.
زيرا 7 بزرگترين مقسوم عليه مشترك در هر دو بود.
يافتن كوچكترين مضرب مشترك 6 و 5 و 4
بين دو عدد 60 و 120، عدد 60 كوچكتر است و جواب مساله است.
پنج پسرعمو دارم كه در نقاط دور و نزديك خارج شهرمان كار مي كنند. امروز همه آنان مهمان من مي باشند.
يك پسرعمويم هر 2 روز يكبار به شهر مي آيد و ديگران بترتيب هر 3 روز يكبار، هر 4 روز يكبار، هر 5 روز يكبار و هر 6 روز يكبار به شهر بازميگردند.
چندروز ديگر مي توانم همه آنها را به خانه خود دعوت كنم؟
در اين مساله، كوچكترين مضرب مشترك ، عبارتست از كوچكترين عددي كه اعداد 2 و 3 و 4 و 5و 6 در آن بگنجند و آن 60 است. كه بر همه اين اعداد قابل تقسيم است.
توجه: مضرب هاي 6 ، مضرب مشترك 3 و 2 نيز مي باشند و در نتيجه مساله بالا به يافتن كوچكترين مضرب مشترك 6 و 5 و 4 منجر مي يابد
دو جمله a+b وقتی به توانهای عدد صحیح برسد یک
چندجمله ای
حاصل
می شودمثالهاي ديگر
يك
چندجمله اي و معادل x3 + 3x2
+ 3x + 1 است.
چند جمله اي نيست زيرا در آن از تقسيم استفاده شده است . البته اگر يك چندجمله اي به عددي ثابت تقسيم شود، بازهم چند جمله اي محسوب مي شود ولي اگر بر جملاتي حاوي مجهول تقسيم شود آنگاه چند جمله اي بحساب نمي آيد. علتش اينست كه از تقسيم بر مجهول عباراتي حاصل مي شود كه يك سري بينهايت از جملات خواهد بود و نمونه اين را مي توانيد در اينجا و در سطر زير ببينيد :
