صفحه اصلی :بازگشت به صفحه اصلي   صفحه ریاضیات:  بازگشت به صفحه رياضيات

Dirac's Delta Function           تابع دلتاي ديراك

 

In the regular fluctuation of y = cos x,  an irregular jump has happened. In the formula, x is an independent variable like time or distance, and y is the dependent variable like temperature, pressure,  voltage, ...etc. What should we add to the formula so that it represents both the regular fluctuation and the irregular jump.
Dirac's Delta functions can express a jump at a point or a narrow slice of the independent variable.
تصوير روبرو جريان نوساني منظمي را با فرمول y=Cos x  نشان مي دهد كه درآن x متغير مستقلي مانندزمان و y متغيري وابسته به  x، مانند دماي هوا، فشار،  ولتاژ برق و ... باشد. طي  فراز و نشيب عادي اين متغير، در زماني معين  و براي مدتي كوتاه، يك جهش بزرگ  پديدار شده  و ميخواهيم بدانيم كه اين جهش را چگونه در فرمول بيان كنيم؟
تابع دلتاي ديراك براي بيان پديده هائي كوتاه مدت و شديد،  
و يا بيان هر نيروئي  است كه بر نقطه اي خاص  از زمان يا مكان اثر گذارد  
Take the function y = f(x) with a maximum at x = 0 and rapidly decreasing on both sides of x = 0; a function such that
 .

It is easy to think up a variety of functions that satisfy all the above requirements. For example:
Second function is better for our purpose(Why?).
To make it m times narrower and taller, modify the equation to:

With large m, the curve becomes a pulse, zero everywhere except in neighborhood of x = 0.
تابعي را در نظر گيريد كه نقطه ماگزيمم آن در x=0 باشد و از هر دو سو سريعا كاهش يابد و نيز مساحت زير منحني آن برابر با 1 باشد.

به آساني مي توانيم  تابع هاي متفاوتي را بينديشيم كه داراي خواص بالا باشند. مثلا اين دو تابع:


دومين تابع براي منظور ما مناسبتر است . چرا؟
براي اينكه بازهم لاغرتر و بلندتر شود آنرا بدين شكل تغيير مي دهيم كه مساحت زير منحني كما في السابق همان  ا خواهد بود:

وقتي m بزرگ باشد، شكل منحني مانند يك پالس خواهد بود كه مقدار آن در همه جا   بجز همسايگي x=0  صفر است.
Now we add this term to the original equation of regular fluctuations, i.e., y = Cos (x) to get





To shift the pulse horizontally, we need to introduce a shift factor, d.


حال اين تابع را  به معادله اصلي  y=cosX مي افزائيم
 





و براي اينكه پالس را بطور افقي  و باندازه  d به سمت راست برانيم  چنين تغييري در فرمول مي دهيم


چنانكه در شكل مي بينيم فرمول بدست آمده  نه فقط جريان اصلي بلكه پالس را هم نشان مي دهد.
Dirac Delta Function can be used in mechanics, too. For example when a beam is deflected due to its own uniform weight and additional forces that act on some points along the beam, like F1, and F2.    تابع دلتاي ديراك كاربردهاي متنوعي در علوم و فناوري دارد. مثلا در مكانيك براي محاسبه خميدگي يك تير آهن بعلت وزن يكنواخت خودش و نيز  نيروهائي  مانند   F1,  F2كه بر نقاطي معين از آن تير آهن اثر مي كنند. تابع دلتاي ديراك مي تواند براي بيان تاثير اين دو نيرو در فرمول كلي خميدگي استفاده شود.