صفحه اصلی :بازگشت به صفحه اصلي   صفحه ریاضیات:   بازگشت به صفحه رياضيات

عدد e ، يا عدد اويلر، يك مقدار ثابت رياضي

عدد  e مهمترين  عدد در رياضيات است كه به نام عدد اويلر يا عدد نپر Napier نيز ناميده مي شود  و  تقريبا برابر است با  2.7182818284590452353602874713527  كه البته  بيش از 100 ميليارد رقم بعد از اعشار آن نيز حساب شده است.   اين عدد به چند طريق بدست مي آيد  و يكي از فرمولهاي محاسبه اش

e =  (1 + 1/n)n

است هنگامي كه n به سمت بينهايت ميل كند

n (1 + 1/n)n
1 2.00000
2 2.25000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1,000 2.71692
10,000 2.71815
100,000 2.71827

برخي دانشجويان   تا 9 رقم بعد از اعشارش را بخاطر مي سپارند چون  آسان است:

2.7 1828 1828

و برخي افراد شش رقم بعد را هم با اين رابطه حفظ مي كنند  كه يك مثلث متساوي الساقين قائم الزاويه زوايايش بترتيب 45 و 90 و 45 درجه است

2.7 1828 1828 45 90 45

فرمول دوم براي محاسبه عدد اويلر  وتوانهاي آن  بشرح زير است::

e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots

فرمول سوم محاسبه عدداويلر اين است:

    

 

يادآوري:       عدد e  پايه لگاريتم طبيعي است. يعني چه؟

ابتدا به لگاريتم در پايه 10 توجه كنيد:  وقتي ميگوئيم  1000  Log  برابر است با 3  يعني  اگر  10 را به توان 3 برسانيم عدد 1000 حاصل مي شود. وقتي مي گوئيم لگاريتم 2000 برابر است به 3.301029996 يعني اگر پايه 10 را به توان    3.301029996 برسانيم عدد 2000 حاصل مي شود.  علامت لگاريتم در پايه 10 اين است: Log

حال به لگاريتم در پايه e توجه كنيد:  وقتي ميگوئيم ln  1000 برابر است با 6.907755279  يعني  اگر e را به توان 6.907755279 برسانيم عدد 1000 حاصل مي شود. و همچنين وقتي مي گوئيم  ln 2000 برابر است به 7.60090246 يعني اگر e را به توان    7.60090246  برسانيم عدد 2000 حاصل مي شود.  علامت لگاريتم در پايه e اين است: Ln
 


مثالي از رشد بهره مركب

فرض كنيد يك دلار را با بهره سالانه 100% به مرابحه بگذاريد. اگر سالي يكبار بهره به اصل افزوده شود، در پايان سال 2 دلار خواهيد داشت. اگر در سال دوبار بهره به اصل اقزوده شود آنگاه درپايان سال مبلغ  $1.00×1.5² = $2.25  خواهيد داشت و اگر در سال 4 با بهره به اصل افزوده شود مبلغ نهائي  برابر با $1.00×1.254 = $2.4414 خواهد بود.  اگر هر سال 12 بار فرع به اصل افزوده شود در پايان سال  $2.613035  خواهيد داشت.  اگر در سال 365 بار فرع و اصل را تركيب كنيد مبلغ نهائي  برابر با $2.714567 مي گردد.  دانشمند رياضي برنولي متوجه شد كه اگر دمبدم فرع را به اصل بيفزائيد، يعني بطور پيوسته و لاينقطع  فرع به اصل افزوده شود، آنگاه مبلغ  پايان سال برابر خواهد بود با $2.7182818  كه همان عدد e   است

 

 

تابع در نقطه  x = e  به ماكزيمم خود مي رسد!

و  تنها تابعي كه مشتق آن  با خودش برابر است  اين است :              

و اين تنها تابعي است كه مشتق لگاريتمش با عكس آن برابر است 

و اين رابطه شگفت انگيز بين سه عدد پي و  عدد  e  و عدد موهومي   i  وجود دارد 

 

 

25/1/1388