تابع مهم گاما
Gamma Function
|
در اين صفحه براي شما دانشجويان، دانش آموزان و
معلمان ارجمند شرح مي دهم كه چگونه موفق شدم يك نكته باريك و
تاريك را در ذهن خود بگشايم و روشن كنم و به عبارتي ديگر، مجهولي را
به معلوم برگردانم . اين كار با محاسبات دستي ممكن نبود زيرا
محاسباتش زياد، دشوار، كند و خسته كننده است ولي با بكار بردن
ماشين حساب علمي و گرافيكي
CASIO ClassPad 330 كه قيمت
آن در حدود 135 هزار تومان است توانستم با سرعت بسيار زياد مسافتي
طولاني را طي كنم و به نقطه اي برسم كه در آرزويش بودم. البته
نرم افزارهاي توانمند ديگري هم هست كه محاسبات و ترسيم گراف را انجام
مي دهند. مثلا نرم افزار Mathematica يا
Matlab يا Maple
یا MathCAD و ... توصيه من به شما اينست كه براي يادگيري رياضيات حتما از تكنولوژي پيشرفته استفاده كنيد مسعود راجي. نيشابور - iranshahrinst@yahoo.com  |
از فرمول تابع گاما هميشه مي
ترسيدم و ميگريختم. زيرا نمي دانستم چيست و براي چيست و اهميت آن بر چه اساسي است. به فرمايش حضرت علي عليه السلام الناس اعداء ما جهلوا يعني مردم آنچه را نشناسند دشمن ميدارند و از آن مي هراسند نمي دانستم معنايش چيست ولي از روي وهم و خيال تصور ميكردم كه بايد يك موضوع فوق العاده دشواري باشد كه فقط ازمابهتران مي توانند به آن پي برند. ولي بطوريكه در فرمول پائين شكل روبرو مي بينيد، گاماي هر عدد چيزي نيست جز حاصلضرب همه اعداد صحيح و مثبت كوچكتر از خودش. مثلا گاماي 4 يعني حاصلضرب 1 در 2 در 3 = 6 ويا گاماي هر عدد = حاصلضرب برادران كوچكترش. -------------------------------- چگونه باين موضوع پي بردم؟ با محاسبه اي بسيار آسان و بسيار سريع : ماشين حساب كاسيو ClassPad 330 هر فرمولي را مي پذيرد و منحني آنرا رسم مي كند و اگر بخواهيم انتگرال آن يعني مساحت زير منحني آنرا اندازه بگيريم فورا محاسبه مي كند و زير منحني را هم سياه مي كند. --------------------------------- فرمول گاما را به ماشين حساب كاسيو دادم. بعد براي اعداد 1 و 2 و 3 و 4 و 5 6 بترتيب اول گرافش را رسم كردم. بعد انتگرالش را در محدوده صفر تا 20 گرفتم زيرا تقريبا كفايت مي كند. در شكل روبرو براي هر نمودار، محدوده 0 تا 20 و مساحت زير منحني تا ده رقم بعد از اعشار ديده مي شود. ديدم : گاماي عدد 1 = 1 ≈ 0.9999989979 گاماي عدد 2 = 1 ≈ 0.9999999567 گاماي عدد 3 = 2 ≈ 1.999999089 گاماي عدد 4 = 6 ≈ 5.999980778 گاماي عدد 5 = 24 ≈ 23.99959333 گاماي عدد 6 = 120 ≈ 119.9913709 -------------------------------- پس به اعداد 1 و 1 و 2 و 6 و 24 و 120 دقت كردم و ديدم 120 حاصلضرب 1در2در3در4در5 است 24 حاصلضرب 1در2در3در4 است 6 حاصلضرب 1در2در3 است 2 حاصلضرب 1در2 است 1 حاصلضرب 1در1 است و دريافتم كه گاماي هر عدد، حاصلضرب همه اعداد كوچكتر از آن عدد است. چه آسان. |
| نكته قابل توجه رابطه
بين مفاهيم فاكتوريل
هر عدد با گاماي آن عدد است. اگر اعداد 1 تا
n را به ترتيب مانند برادراني از
جوانترين تا بزرگترين ببينيم، آنگاه فاكتوريل داداش بزرگه يعني حاصلضرب همگي برادران (و خود او) ولي گاماي داداش بزرگه يعني حاصلضرب برادران كوچكتر از او. |
|
از حدس تا آزمايش و اثبات حدسيات مقرون به حقيقت را كه هنوز اثبات يا ابطال نشده باشند در رياضيات Conjecture مي نامند و برخي از اين Conjecture ها شهرت جهاني دارند مانند حدس گلد باخ ، آخرين قضيه فرما، حدس هادامارد و دهها حدس ديگر . برخي از اين حدسيات قرنها است كه مورد بررسي و مطالعه است و مثلا آخرين قضيه فرما را كه در سال 1640 بيان گرديد اخيرا در سال 1994 آقاي آندرو وايلز اثبات كرد و از مجموعه حدسيات به مجموعه قضاياي اثبات شده انتقال يافت. برخي از حدسيات نيز باطل شده اند زيرا اثبات شده كه نادرستند. ليست كامل حدسيات رياضي را در اين زمان در نشاني زير خواهيد يافت http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_conjectures براي اثبات يا ابطال برخي از اين حدسيات جوايزي در حدود يك ميليون دلار تعيين شده است. بينديشيد |
|
بررسي عناصر در فرمول تابع گاما
 |
 |
 |
اين تابع كه
Cosh يا كسينوس هيپربوليك نيز ناميده مي شود
با منحني سهمي يا پارابولا يكي نيست هرچند كه گاليله تصور
مي كرد زنجير آويزان بشكل سهمي است . از اين
منحني براي ساختن پل و معماريهاي ديگر استفاده مي شود.
 فرمول قوس سنت لوئيز آمريكا اين است:  اگر منحني Catenary در حول محور ايكس دوران كند سطحي بنامه Catenoid حاصل خواهد شد.  |
مساحت زير منحني از صفر تا بينهايت برابر با 1 است بنا به تصوير فوق و حالات گاماي 1 تا 6 مي بينيم كه اگر x در آن ضرب شود مساحت مزبور تغيير نمي كند x2 در آن ضرب شود مساحتش دو برابر مي شود x3 در آن ضرب شود مساحتش 6 برابر مي شود ... اين تابع در هر تابعي ضرب شود آنرا نيز كاهنده و ميرا مي سازد مثلا با ضرب آن در تابع سينوس  اينك به ضرب آن در تابع درجه 2 بنگريد  |
مساحت زير منحني از منهاي بينهايت تا صفر برابر يك است اين تابع در هر تابعي ضرب شود آنرا نيز فزاينده مي سازد مثلا با ضرب آن در تابع سينوس  |
 معماری ایوان مدائن نیز بر طبق منحنی زنجیر آویخته است طاق کسری یا ایوان مدائن |
 |
اين صحبت ادامه دارد و به اعداد اعشاري و اعداد مختلط نيز مي پردازيم تا خواص بسيار مهم تابع گاما را بشناسيم |