صفحه اصلی :
صفحه ریاضیات:
Harmonic Series
We are familiar with natural numbers that begin with 1, 2, 3, ... and increase to infinity (∞). By inverting the natural numbers, we obtain a decreasing series ( 1/1, 1/2, 1/3, ...) that approaches 0 and is called the "Harmonic Series". The sum of the terms of Harmonic series diverges to infinity.
سري اعداد طبيعي را كه با 1 و 2 و 3 و ... آغاز مي شود و به بينهايت ميل مي كند مي شناسيم. اگر اين اعداد را وارون كنيم ( 1/1, 1/2, 1/3, ...) يك سري ديگر بدست مي آيد كه نامش سري هارمونيك است. حاصلجمع سري هارمونيك واگرا است يعني به بينهايت ميل مي كند. نامگذاري اين سري به هارمونيك ناشي از ارتباط آن با موسيقي است كه مي توانيد به آساني تجربه كنيد. باين منظور چند ليوان بلند و باريك بلوري يا فلزي را روي ميز بگذاريد. آنگاه اولين ليوان را پر از آب كنيد و در دومين ليوان تا نصفه آب بريزيد و سومي را تا يك سوم ليوان آب كنيد و چهارمي را تا يك چهارم و پنجمي را تا يك پنجم و ... آنگاه يك چنگال فلزي برداريد و به لبه اين ليوانها بزنيد. تا صدايش بگوش رسد. خواهيد ديد كه صداي ليوانها با يكديگر متفاوت است و مانند نت هاي پيانو مي توانيد با اين ليوانها آهنگ بنوازيد. نام هارمونيك يعني هماهنگ بر سري فوق بر اين اساس نهاده شده است
First we prove the Pietro Mengoli (1625-1686) proposition that says while the sum of any three consecutive positive integers equals to three times the middle number, the sum of their inverses is greater than three times the inverse of the middle number.
ابتدا رابطه اي را كه پيترو منگولي (1625-1686) بيان كرد اثبات مي كنيم كه براي هر عدد صحيح مثبت ، n ، صادق است: حاصلجمع هر سه عدد پياپي مثبت و صحيح پياپي برابر است با سه برابر عدد مياني ولي حاصلجمع وارون آن سه عدد بزرگتر است از سه برابر وارون عدد مياني
