Harmonic Series

We are familiar with natural numbers that begin with 1, 2, 3, ... and increase to infinity (∞).  By inverting the natural numbers, we obtain a decreasing series ( 1/1,  1/2,  1/3, ...)  that approaches 0 and is called the "Harmonic Series". The sum of the terms of Harmonic series diverges to infinity.

سري هارمونيك
سري  اعداد طبيعي را كه با  1 و 2 و 3 و ... آغاز مي شود و به بينهايت ميل مي كند مي شناسيم.  اگر اين اعداد را وارون كنيم ( 1/1,  1/2,  1/3, ...)  يك سري ديگر بدست مي آيد كه به سمت صفر ميل مي كند و نامش سري هارمونيك است.  حاصلجمع سري هارمونيك واگرا است يعني  به بينهايت ميل مي كند.

   

Proof:
First we prove the Pietro Mengoli (1625-1686) proposition that says while the sum of any three consecutive positive integers equals to three times the middle number,  the sum of their inverses is greater than three times the inverse of the middle number.
اثبات :
ابتدا رابطه اي را كه پيترو منگولي  (1625-1686) بيان كرد اثبات مي كنيم  كه براي هر عدد صحيح مثبت ،  n  ، صادق است:   حاصلجمع  هر سه عدد پياپي مثبت و صحيح پياپي  برابر است با سه برابر عدد مياني ولي  حاصلجمع  وارون آن سه عدد بزرگتر است از سه برابر وارون عدد مياني

 
No to prove that the harmonic series diverges, we group the terms as shown below.  Applying the Mengoli proposition, each group is greater three times the middle term of the group. اينك به اثبات  واگرائي سري هارمونيك باز ميگرديم ،  يعني مجموع  جملات سري هارمونيك بينهايت است.  باين منظور جملات ا سري  هارمونيك رابه شكل زير در دسته هاي سه تا ئي  در نظر ميگيريم و رابطه منگولي در باره  همه اين دسته ها صدق ميكند.