صفحه اصلی :   صفحه ریاضیات:  

تبديل لاپلاس       Laplace Transformation 

پي ير سيمون لاپلاس   1749 - 1827  رياضيدان  و منجم و فيزيكدان فرانسوي نظريه جاذبه نيوتون را در موردمنظومه شمسي بكار برد. شهرت او بيشتر بخاطر  تبديل لاپلاس در كنترل فرآيندها و كاربردهاي مهندسي  مانند برق و الكترونيك و مكانيك  است   تبديلات منحصر به تبديل لاپلاس نيست بلكه از تبديلات ديگري نيز استفاده مي شود كه برخي از آنها بدين شرح است:

Abel Transform, Z-transform, Merril Transform, Borel Transform, Fourier Transform, Logarithm Transform, Laplace Transform, Mellin Transform, Radon Transform, Sumudu Transform,

 در رياضي ، مقصود از تبديل عبارت يا تابع آنست كه  يك اپراتور بر آن اثر گذارد  و آنرا به شكلي در آورد كه عمليات  مورد نظر به آساني  ممكن باشد و  آسانتر از عمليات با خود تابع باشد. معمولا تبديلات برگشت پذير است و مي توان نتيجه عمليات را به  شكل نخستين تابع برگرداند.

در شكل روبرو منحني آبي رنگ پديده اي را نشان مي دهد كه در امتداد محور زمان  تموج دارد ولي اگر با تبديل فوريه آنرا تجزيه كنيم مي بينيم از جمع سه موج ساده سينوسي با فركانس هاي 1 و 2 و 3 تشكيل شده است. هنگامي كه  پديده را در امتداد محور زمان مي سنجيم اصطلاحا گفته مي شود كه در قلمرو زمان  يا  Time Domain هستيم و اگر  همان پديده را در امتدادمحور فركانس بنگريم اصطلاحا گفته مي شود كه در قلمرو فركانس Frequency Domain هستيم   تبديل لاپلاس بر اين انديشه استوار است كه براي حل يك معادله ، يا دستگاهي از معادلات، كه شامل ديفرانسيل و انتگرال باشد آن معادله را از يك  قلمرو به قلمرو ديگري تبديل كنيم تا عملياتمان آسانتر شود و در پايان عمليات، جواب را به فضا يا قلمرو اوليه برگردانيم.

نمونه  تبديلات  آسان كننده  تبديل لگاريتم است كه محاسبات را يك درجه ساده تر مي كند: يعني ضرب وتقسيم  را به جمع و تفريق و  محاسبه توان و ريشه را  به ضرب و تقسيم تبديل مي  كند:. در جدول زير به لگاريتم نظري مي اندازيم و بعد به تبديل لاپلاس باز مي گرديم.

از هزاران سال پيش تا چهارصد سال قبل، زماني كه هنوز ماشين حساب و كامپيوتر وجود نداشت، محاسبه كاري پرزحمت و دشوار بود.   روش محاسبه جذر و كعب اعداد را همگان  نمي دانستند . حدود 400 سال پيش ، جدول لگاريتم ابداع شد تا  محاسبه ريشه  اعداد  به عمل ساده تر تقسيم تبديل شود و محاسبه   توانهاي اعشاري اعداد به  عمل ساده تر ضرب تبديل شود و نيز، عمليات تقسيم و ضرب به تفريق و جمع تبديل شود.  روش لگاريتم، كه يك شاهكار خلاقيت ذهن بشر است بقدري در پيشرفت علوم و فنون موثر بوده كه آنرا با اختراع دستگاه چاپ همطراز ميشمارند.   اصل موضوع بسيار ساده است.  مثلا همه مي دانند كه  5 به توان 2 مي شود 25 ولي شايد ندانند كه لگاريتم 25 در پايه 5 مي شود 2 بعبارتي ديگر،  به توان رساندن  و لگاريتم ارتباط دارند:                                                                                    عمل توان مي گويد  اگر عددپايه  بدفعات در خودش ضرب شود حاصل كار چه خواهد بود؟ و                                                                                   عمل لگاريتم  مي گويد كه عدد پايه چنددفعه در خودش  ضرب شود تا حاصل كار بدست آيد؟.  و باز به عبارتي ديگر،                         لگاريتم يك عدد  در پايه  10 :    وقتي مي گوئيم Log 1000 مقصود عددي است كه 10 به توان آن برابر با 1000 شود.  لذا،                                        Log 1000=3 لگاريتم يك عدد  در پايه  e :     وقتي مي گوئيم    ln 1000 مقصود عددي است كه e   به توان آن برابر با 1000 شود و 2.71828  =  e  . لذا،   6.90775 =  ln 1000
و با  اين لگاريتم، از جدول عدد 0.499999 بدست مي آيد كه تقريباهمان 5 است	روابط لگاريتمي	مثال عددي: ميخواهيم  با استفاده از روابط لگاريتمي،  مقدار عبارت زير را حساب كنيم (كه البته جواب آن 5 است) در 1614 ميلادي يك اسكاتلندي بنام جان نپرJohn Napier  بر اساس فكر يك ساعت ساز سويسي بنام  ژوست بورگي جدول لگاريتم را ساخت. از آن جدول مي توانيم لگاريتم  هر عدد  و  عدد هر لگاريتم را بدست آوريم.

تبديل لاپلاس

	مقدمه : مي دانيم كه  منحني  تابع y = x  يك خط راست با زاويه 45 درجه است كه از مركز مي گذرد ومنحني  تابع   يك سهمي است و منحني  سينوس به شكل يك موج متناوب است. ولي  در محدوده 0 تا  بينهايت،  انتگرال آنها (يا بعبارتي ديگر مساحت زير منحني)  به سوي يك حد معين ميل نمي كند   حال اگراين تابع كاهنده  در تابع هاي فوق الذكر ضرب شود، آنها را هم مي كاهد و به شكلي در مي آورد كه درتصوير روبرو مي بينيم و انتگرال آنها در محدوده 0 تا  بينهايت به سوي حد معيني ميل مي كند.
	در تبديل لاپلاس،  آن تابع كاهنده  را در تابع ضرب مي كنيم تا  در محدوده 0 تا  بينهايت،  انتگرالش به سوي حد معيني ميل كند .
	مثلا اگر تابع ما باشد،  تبديل لاپلاس آن اين است:
	و اگر تابع ما باشد،  آنگاه تبديل لاپلاس آن  (با استفاده از فرمول حاصله در سطر قبل براي  )  چنين خواهد  بود:
	و اگر تابع ما  y(t)=cos t باشد  آنگاه تبديل لاپلاس آن چنين خواهد بود:

در اينجا جدول تبديل لاپلاس براي برخي از تابع ها ديده مي شود.  با استفاده از اين جدول مي توان تابع را تبديل كرد و نيز بعد از عمليات، با داشتن شكل تبديل شده، تابع را بدست آورد.

مثالي از كاربرد تبديل لاپلاس در حل معادلات ديفرانسيل 

يك معادله  ديفرانسيل  مرتبه دوم داريم  و شرايط اوليه آنرا هم مي دانيم. ميخواهيم با استفاده از تبديل لاپلاس، فرمول تابع اصلي را بدست آوريم كه در آن ذكري از مشتقات نباشد.

25/1/1388