صفحه اصلی :بازگشت به صفحه اصلي   صفحه ریاضیات:  بازگشت به صفحه رياضيات
James Bernoulli (1694) &  Lemniscate

Lemniscate is the name given to this curve by James Bernoulli in 1694, about 312 years ago.

Figure 2 shows a lemniscate as cross section of a torus

Fugure 3 shows the projection of a closed like on a mobius strip on xy plane

Figure 5 shows the two focal points of the lemniscate, F1 and F2,


How can we define a lemniscate?
 Lemniscate منحني لِم نيس كِيت جيمز برنولي (1694) و منحني گل روبان
Lemniscate بمعناي  آن گره دو برگي روبان سفيد بر لباس  مدرسه يا موي دختران است.  حدود 312 سال قبل برنولي اين  نام را به منحني بسته اي  دادكه شبيه 8 و نشانه بينهايت است .
شكل 2 :  از برش يك چنبر نيز منحني Lemniscate بوجود مي آيد.
شكل 3 : در وسط  نوار موبيوس  منحني بسته قرمزي ديده ميشود كه هرگاه به نوار موبيوس از بالا نگاه كنيم،  آنرا همچون يك Lemniscate خواهيم ديد.
شكل 5 : دو نقطه در درون Lemniscate  هست كه نقاط كانوني نام دارند.
منحني  Lemniscate چگونه بوجود مي آيد؟
Let F1 and F2  be 2a apart.
If point M moves on the xy plane in such a way that the area of a rectangle with sides r1  and r2 equals the area of a square with side a , then it follows a path of Leminiscate.

Now we derive the formula of Lemniscate:		   فرض كنيد  فاصله نقاط F1 و F2  از مبداء O باندازه a  باشد.  پس طول F1-F2  باندازه 2a  است.
هرگاه نقطه M در صفحه xy  حركت كند بطوري كه مساحت مستطيل ( r1 ×  r2 ) برابر مساحت مربعي به ضلع a باشد،  آنگاه مسيرش به شكل Lemniscate خواهد بود.
اينك فرمول آنرا بدست مي آوريم:
Area of Rectangle = Area of the square 

By Pythagor's theorem in figure above we have:
Hence,
The rectangular formula of lemniscate is:




But we can convert the rectangular coordinates of a point to polar coordinates usingthe formulas:

Substituting polar coordinates in the rectangular formula

Hence, the polar formula of Lemniscate is

 		 حاصلضرب فواصل M از دوكانون برابر است با مساحت مربعي به طول ضلع a .  
بنا به قضيه فيثاغورث در شكل رديف بالا:
فرمول مسير Lemniscate در مختصات دكارتي

براي بدست آورن فرمول آن در مختصات قطبي:
مي توانيم موقعيت هر نقطه را از سيستم  مختصات دكارتي  x,y را به سيستم مختصات قطبي   r, θ  برگردانيم.  از جايگزيني   x و y با r.cosθ و r.sinθ در فرمول دكارتي و ساده كردن عبارت، فرمول قطبي بدست مي آيد

 فرمول مسير Lemniscate در مختصات قطبي
For rotational movements, polar coordinate formulas are simpler than rectangular coordinates   Conclusion  نتيجه گيري  براي حركات دوراني، مختصات قطبي بهتر است 
(1)- The farthest distance of lemniscate from origin O is equal to

        w2 × O-F1
(2)- The vertical distance between the maximum and minimum points on the curve (B, C) equals the length from O to F1.
(3)- Now we draw a line tangent to lemniscate at point M. A line normal to leminscate at M intersects the x axis at N.
Let                  ÐMON = θ
 These relations hold:
                       ÐOMN = 2θ
                       ÐMNx  = 3θ

(4)- We draw a line from F1 perpendicular to OM at K.  The line F1K divides the OMA1 sector into two equal parts, i.e.
                       OKF1 = KF1A1M
(5)- The tangents to lemniscate at the origin O make a 45 Degree angle with the horizontal axis

(6)- Triangle OBC is equilateral
(7)- The two points of inflection are located at the Origin O.
(8)- The radius of curvature is
                     R=2. OF2 /  3.OM
(9)- The area of the sector OMA! is equal to
    S(θ)=(OF12  / 2).sin(2θ)=OK.F1k
(10)- The area of each loop equals  OF12
                             



Some Properties         برخي خواص  

 		 (1) -  فاصله دورترين نقطه منحني از مبداء O ، يعني فواصل  O  تا  A1و  A2   برابر است با
                  w2 × O-F1
(2) - فاصله نقاط ماكزيمم و مينيمم  (B, C) برابر است با فاصله نقطه O  تا  F1
(3)- اينك در نقطه M  مماسي بر منحني رسم ميكنيم.
و در همان نقطه عمودي بر مماس رسم مي كنيم تا محور x را در نقطه N قطع كند.
فرض كنيم:             ÐMON = θ
آنگاه اين روابط برقرار است:
                       ÐOMN = 2θ
                       ÐMNx  = 3θ
(4) خط F1K  قطاع OMA1 را به دو بخش برابر تقسيم مي كند يعني مساحت OKF1 = KF1A1M
(5)-   دو مماس بر منحني در نقطه O  زاويه 45 درجه  با محور افقي مي سازند.
(6) - مثلث OBC متوازي الاضلاع است.
(7) - دو نقطه عطف منحني در نقطه مبداء O واقعند.
(8) - شعاع انحناي منحني در هر نقطه برابر است با
                                   R = 2. OF2  /  3.OM
(9) - مساحت قطاع OMA1 برابر است با
              S(θ)=(OF12/2).sin(2θ)=OK.F1k
(10)- مساحت هر يك از دو حلقه منحني برابر است با
             OF12