صفحه اصلی :   صفحه ریاضیات:  

درسي از دانشگاه كمبريج درباره اعداد

Jeffrey Stopple: A Primer of Analytical Number Theory

جفري استاپل : مقدمه اي بر تئوري تحليل اعداد

هدف  پداگوژيك كارنيكان از اين صفحه،  آشنائي  معلمان، دانش آموزان و دانشجويانمان با روش تدريس رياضي در دانشگاه  كمبريج انگلستان است

اعداد چندضلعي و اعداد چند وجهي

واژه يوناني Gnomon كه در زبان انگليسي  نومان تلفظ مي شود بمعناي تيغه نشانگر ساعت آفتابي  و همچنين گونياي نجاران است كه  شكل آن معمولا  مانند  L  و گاه   L مي باشد.   در هندسه اگر از يك متوازي الاضلاع بزرگ ، متوازي الاضلاع كوچكتري  را  بيرون كنيم،  يك نومان مي ماند.  نجار با  گونيا يا  نومان  قائم الزاويه مي تواند  چيزهائي  قائم الزاويه را  با هر اندازه دلخواه بسازد.  در يونان باستان فيثاغورثيان كه اعداد چند ضلعي  و چندوجهي را را ابداع كردند  همين واژه را براي ناميدن دنباله ي  اعداد فرد،     ...   7 ،  5،  3 ، 1   بكار بردند زيرا با اعداد فرد  مي توان هر مريعي را بدست آورد، و بعبارتي ديگر از جمع كردن  نخستين  n عدد فرد ،  مربع n  بدست مي آيد:

اثبات هندسي اين قضيه در شكل زير ديده مي شود كه در آن هر مربع با افزودن  تعدادي فرد  به مربع قبلي بدست مي آيد

به عبارتي ديگر، اعداد فرد، نومان يا گونياي ساختن هر عددي است كه مربع كامل باشد. اينك قبل از پرداختن بيشتر به اعداد مربعي، به اعداد مثلثي توجه كنيم:

اعداد مثلثي را t_n مي ناميم  زيرا t نشانه triangle بمعناي مثلث است  و چنانكه در شكل زير ديده مي شود  t_n تعداد اشيائي است كه در n رديف  به فرم مثلثي  بچينيم.

در اين مثلث ها، هر رديف از رديف قبلي يكي بيشتر دارد،  و اعداد صحيح نيز همينطورند چون  هر عدد  صحيح يكي بيشتر از عدد قبلي است.  بنا بر اين شمار  اشياء  مثلث  n ضلعي برابر است با مجموع اعداد صحيح از يك تا n   و  اين معنا با فرمول رياضي زير  بيان مي شود

ولي براي فشرده تر كردن مطلب و بيان آن به نحوي خلاصه تر، از  حرف  سيگماي  يوناني  Σ  استفاده ميكنيم كه همان سين فارسي است و كلمه  انگليسي Sum بمعناي مجموع است:

طرز خواندن اين فرمول  از چپ به راست چنين است:  nامين عدد مثلثي برابر است با مجموع  مقادير k ؛  و مقادير k از 1 تا  n  مي باشد. 

مفهوم فرمول  مي تواند اين باشد كه :  براي يافتن   n امين عدد مثلثي ،  اعداد 1 تا n  را با هم جمع كنيد.

البته تفاوتي نميكند كه مثلث را چگونه بچينيم. ولي اگر  آنها را به شكل يك مثلث قائم الزاويه بچينيم، راهي بديع و هوشمندانه  مي يابيم  تا اعداد مثلثي را نه با جمع كردن، بلكه با ضرب كردن محاسبه كنيم . ميگوئيم هوشمندانه زيرا عمل ضرب فشرده تر و خلاصه تر و سريعتر  از عمل جمع است . باين منظور دو نسخه از هر عدد مثلثي را به فرم قائم الزاويه مي چينيم. فرض كنيد يك نسخه آن دايره هاي  سفيد ونسخه دوم دايره هاي سياه باشد.

و از اين چيدمان هندسي  كه مستطيل است بلافاصله  و  به راي العين اثبات مي شود كه

مفهوم فرمول   اين است كه :  براي يافتن   n امين عدد مثلثي ،   n  را در عدد بعدي ضرب و بر 2  بخش كنيد.

اين راه  اثبات  را  Gauss در دوران كودكي كشف كرد. معلم از او خواست اعداد 1 تا 100 را با هم جمع كند. و گاوس بلافاصله پاسخ داد 5050 . زيرا تعداد  اعداد 1 تا n  دقيقا  n است. حال اگر اينها را در دوسطر ولي در جهات متفاوت بنويسيم  خواهيم داشت:

و رديف سوم برابر است با 100 ضربدر 101 يا 10100 كه چون بر 2 تقسيم شود 5050 بدست مي آيد.

يادداشت در زبان عربي، كلمه استقراء بمعني رفتن از قريه اي به قريه ديگر و به قريه اي ديگر و  قريه اي ديگر و ...   است در زبان انگليسي،  روش استقراء رياضي را  با نام Mathematical Method of Induction و بطور خلاصه MMI  مي شناسند

سومين طريق اثبات استفاده از روش استقراء رياضي است.  استقراء رياضي روش مناسبي است براي مواردي كه بايد تعداد بيشماري  قضيه يا حكم را اثبات كنيم،  مثلا  هنگامي كه ناچار باشيم براي هر يك از اعداد صحيح ، قضيه  اي را اثبات كنيم. در گام اول از روش استقراء رياضي قضيه اي  را به ازاء n=1  اثبات مي كنيم  و در گام دوم  اثبات مي كنيم كه اگر قضيه براي هر عددي صدق كند براي عدد بعد از آن هم صدق خواهد كرد.  اين روش مانند بازي دومينو است كه  اگر اولين دومينو بيفتد بقيه دومينو ها نيز يكي پس از ديگري خواهند افتاد در اين تشبيه و تمثيل،   گام اول استقراء كه  اثبات قضيه براي n=1  است، مانند  افتادن اولين دومينو است.   در گام دوم  استقراء  بايد نشان دهيم  اگر قضيه  براي  عدد  n-1  صدق كند، آنگاه براي عدد  n نيز صدق خواهد كرد.  و اين مانند آنست كه  نشان دهيم  از افتادن  هر دومينو ، دومينوي كنار آن نيز  مي افتد.  اينك  قضيه tn=n(n+1)/2  را با روش استقراء اثبات مي كنيم .  گام 1 - آسان است زيرا   t1=1(1+1)/2 گام 2 -  فرض كنيم قضيه براي عدد n-1 صدق كند. يعني

در اوايل اين مقاله  با اعداد مربعي  كه آنها را با نام   s_n  مي ناميم  آشنا شديم. در اين نامگذاري s  از كلمه انگليسي Square گرفته شده كه بمعني مربع  يا توان دوم مي باشد. و n تعداد رديفها يا ستونهاي مربع است .   فرمول s_{n   آسان است زيرا}     s_n=n² 

ولي جذابيت اعداد مربعي بيش از آنست كه در ابتدا بنظر رسد. مثلا مي توانيم اثبات كنيم كه جمع دو عدد مثلثي  يك عدد مربعي حاصل مي شود 

     s_n=t_n+t_n-1 

اثبات اين قضيه با روش هندسي چنين است:

البته اثبات اين قضيه با روش جبري نيز بهمين اندازه آسان است زيرا

شكلي  را كه در آغاز مقاله  ديديم در زير نيز آورده ايم 

و بنظر مي رسد كه با روش استقراء نيز مي توانيم قضيه    را به اثبات رسانيم:

گام 1  استقراء :  بازاء n=1  صدق مي كند زيرا  1=1²

گام 2 استقراء :  بايد اثبات كنيم كه اگر قضيه به ازاء n-1 صادق باشد براي n نيز صدق خواهد كرد. ولي

كه ساده مي شود به

تمرين 1 براي شما :  حال كه ميدانيم   و   پس يقينا رابطه   برقرار است ولي از شما ميخواهيم كه براي اين رابطه يك اثبات هندسي بينديشيد.  يعني  نقاط دو مثلث   t_n  , t_n-1 را چنان بچينيد  كه تعداد نقاط در همه رديفها ي  آرايه  عددي فرد باشد.

تمرين 2 براي شما :   رابطه مشهور يلوتارك   Plutarch را  با روش جبري، يعني با استفاده از فرمولهاي اعداد مثلثي و اعداد مربعي اثبات كنيد.  آنگاه، همين رابطه پلوتارك را با روش هندسي، يعني با مرتب چيدن نقاط  هشت نسخه از اعداد مثلثي t_n   اثبات كنيد.

تمرين 3 براي شما :  كدام اعداد مثلثي در عين حال اعداد مربعي نيز مي باشند؟ بعبارتي ديگر،  بين m و n  بايد چه رابطه اي باشد تا  داشته باشيم  t_n=s_m  ؟   نشان دهيد كه اگر چنين باشد، آنگاه، خواهيم داشت :    كه جواب معادله Pell مي باشد و بعدها به آن مفصلا مي پردازيم.

فلسفه مكتب فيثاغورتيان تاثير عظيمي بر نظريه اعداد گذارد و باين مناسبت اينك به  مرور تاريخي اين موضوع گريز مي زنيم:

فيثاغورث ساموس  -  560 تا 480 قبل از ميلا مسيح. - در مصر و بابل سفرهاي بسيار كرد و با رياضيات آنان آشنا شد. در باره سفر او به مصر نوشته شده است كه :

او  به همه معابد و كتابخانه ها مي رفت و با كوشش بيمانندي موشكافي مي كرد.  روحانيون و پيامبران دوران او را با علاقه و تحسين مي پذيرفتند و او با عطشي سيري ناپذير، دانسته هاي آنان را مي آموخت. از هيچيك از دانشهاي دوران خود  بيخبر و غافل نماند، و نبود بزرگمردي كه به دانائي مشهور  باشد و فيثاغورت بديدارش نشتابد.  هر مسلك و مرام محترم را در  جهان آنزمان آزمود و به هر جا كه گمان مي برد ارزشمند باشد سفر نمود. ... او مدت 22 سال را در نقاط مقدس مصر گذراند و ستاره شناسي و نجوم و هندسه را آموخت و  با مراسم نيايش همه خدايان آشنا شد، تا آنكه در لشگر كشي كمبوجيه  از ايران به مصر، اسير گرديد و به بابل برده شد. در بابل با مغان دوستي كرد ، به آئين مذهبي ايرانيان واردشد و  با آموختن آنچه نزد ايشان مقدس و محترم بود سبب شادي مغان گرديد و  نيايشهاي ديني آنان را به كمال فراگرفت و به اوج دانش آنان در هندسه، موسيقي و ساير زمينه ها دست يافت. دوازده سال نزد مغان بود و هنگامي كه به زادگاهش در ساموس بازگشت، پنجاه و شش ساله بود. امپراتور ايران، كمبوجيه يا كامبوزيا،  در سال 525 قبل از ميلاد مسيح  بر مصر چيرگي يافت، و بيست و پنجمين سلسله فرعون ها را برانداخت. بنا به تاريخ هرودوت،  كامبوزيا در مصر ستمكار بود و با سنن و دين مصريان ستيز كرد و در پايان به ديوانگي دچار شد.

در فلسفه فيثاغورثيان،  اعداد   درونمايه و خميره ي   هستي  و آفرينش  است.  ارسطو در كتاب متافيزيك خود نوشت: فيثاغورثيان معتقد بودند  كه  براي بيان و تصوير سازي از هستي و تحولات آن،  آنچه در اعداد مي يابند،  بسيار بيشتر  است از آنچه در خاك و آتش و آب  بتوان يافت .  زيرا هر چيزي و همه چيزها،  ارتباط و آميختگي جدائي ناپذيري با اعداد دارند، در حاليكه بنظر ميرسد اعداد  ذات مستقل دارند و نقطه آغاز هستي و آفرينش اند.  فيثاغورثيان باور داشتند كه عناصر اعداد  همانا عناصر همه چيزهاي ديگرند و سراسر آسمان بلند،  هماهنگ اعداد و بلكه يك عدد سات. هارموني هاي موسيقي،  دو پهلوي مثلث راستگوشه، و مدار ستارگان، همه را مي توان با اعداد كسري نشان داد. اين انديشه به تصوراتي از اسرار اعداد انجاميد. قيثاغورثيان در دانش نجوم، از "سال بزرگ" سخن مي گويند.  اگر نسبت دوره هاي دوران سيارات اعداد صحيح باشند، پس، بعد از سالياني چند، ستارگان دوباره دقيقا به همان موقعيت پيشين بازميگردند.  و چون ستاره شناسان معتقدند كه حركات اجرام آسماني  سبب رويدادها است، پس، بقول ايودموس ... آنگاه من دوباره در همينجا خواهم نشست و در حاليكه همين نشانگر را در دست دارم ، برايتان از شگفتيها سخنها خواهم گفت

اعداد چندوجهي

ادامه مطلب در روزهاي آينده