صفحه اصلی :   صفحه ریاضیات:
Riemann Zeta (ζ) Function		تابعِ زتايِ اويلر و ريمان ζ
English speaking  readers are requested to read Keith Devlin. "How Euler discovered the zeta function" in the internet web sites.	جمع  اعداد 1، 2، 3، 4، 5، ...   بينهايت است اينك اعداد فوق را معكوس كرده و با هم جمع كنيد.  حاصلجمع آن نيز بينهايت است           نام اين سري ،  سري هارمونيك است . ولي اگر مخرج كسرها را به  هر توان بزرگتر از 1 برسانيم،  كه در اينجا آنرا با s نشان مي دهيم،  آنگاه سري  همگرا مي شود يعني به سوي يك حد معين، نه بينهايت،  ميل خواهد كرد و نام آن تابع زتاي ريمان يا تابع زتاي اويلر است

  پس از آنكه  اويلر اين تابع را تعريف كرد نشان داد كه بين اين تابع  و اعداد اول ارتباط عميقي وجود دارد.  بعبارتي ديگر او ثابت كرد  رابطه زير نيز بر قرار است كه در مخرج كسرها اعداد اول بكار رفته و كسرها در يكديگر ضرب شده اند. البته اين سري همه اعداد اول را در بر مي گيرد

فرمول ضرب اويلر

به عبارتي ديگر اويلر تابع زتا را به دو شكل  كاملا مختلف تعريف و اثبات كرد:  شكل اول بر اساس جمع و همه ي اعداد طبيعي ،   شكل دوم بر اساس ضرب و فقط  اعداد اول

براستي اويلر چگونه به اين رابطه شگفت انگيز پي برد.  آغاز داستان از سري هارمونيك است كه در آن،  در مخرج كسرها همه اعداد مثبت صحيح بكار رفته است. اويلر باين فكر افتاد كه اگر مخرج كسرها محدود به اعداد اول شود چه خواهد شد؟ بعبارتي ديگر  او به سري هارمونيك اعداد اول متوجه گرديد كه آنرا PH مي ناميم  زيرا مخفف  Prime Harmonic Series است

آيا اين سري نيز مانند سري هارمونيك واگرا است و به بينهايت ميل مي كند؟  خودتان را بجاي اويلر بگذاريد.  او در آغاز سري هارمونيك را به دو بخش اعداد اول و اعداد مركب  تقسيم كرد.

آنگاه سعي كرد اثبات كند بخش اعداد مركب متناهي است وبه حد معيني مي گرايد . اگر اين اثبات مي شد آنگاه مسلم بود كه بخش اول، يعني بخش  اعداد اول نامتناهي يا واگرا و  بينهايت است  و  باعث مي شود كه سري هارمونيك به بينهايت ميل كند. اين فكر خوب  يك اشكال دارد. از آنجا كه سري هارمونيك بينهايت است نمي توان آنرا بدينشكل به جمع دو بخش  تقسيم كرد. يادآور مي شو.يم كه هر مجموعه   متناهي را مي توانيم به دو يا چند بخش دلخواه تقسيم كنيم  و حاصلجمعشان تغيير نمي كند. ولي اگر مجموعه ها نامتناهي باشند، اين تقسيم كردن فقط درصورتي مجاز است كه  همه تقسيمات متناهي باشند. بعلت وجود اين اشكال،  اويلر مساله را دور زد.

اويلر گفت بيائيد در سري هارمونيك  يك تغيير كوچك بدهيم، و اعداد مخرج كسرها را به توان s برسانيم و s كمي از 1 بزرگتر باشد. در اينصورت حاصلجمع سري به سوي حد معيني ميل مي كند و بينهايت نخواهد بود.  آنگاه  اين سري را به دو بخش  اعداد اول و اعداد مركب تقسيم ميكنيم

حال بايد اثبات كنيم كه اگر s   به   1 نزديكتر و نزديكترشود  بخش اول  به بينهايت ميل مي كند  و در نتيجه مي توانيم بگوئيم كه به ازاء s=1 حاصلجمع زير بينهايت خواهد بود

يك گام كليدي در اين استدلال،  اثبات  اين رابطه  والا مقام  و عاليرتبه  بود

كه در آن اجزاء فرمول همگي بشكل مي باشند  و p عدد اول است.

اويلر در نظر داشت  از فرمول آشناي  مجموع تصاعد هندسي آغاز كند كه به شكل زير است

اويلر در نظر داشت از فرمول مجموع تصاعد هندسي فوق الذكر استفاده كند زيرا براي هر عدد اول p و هر توان s كه بزرگتر از 1 باشد  بجاي x  مقدار آنرا از عبارت   گذارد كه  فرمول زير بدست آيد

اگر  اين معادله را با فرمول ضرب اويلر  در بالاي اين صفحه مقايسه كنيم ديده مي شود كه سمت چپ اين معادله مانند هر يك از جملات در فرمول ضرب اويلر است و به عبارتي ديگر،  هر يك از جملات فرمول ضرب اويلر معادل است با  مجموع جملاتي كه در فرمول اخير مي بينيم.   با جايگزيني اين مجموع جملات در فرمول ضرب  و اجراي عمل ضرب اويلر به  فرمول ديگري دست يافت كه هر يك از جملات آن بدين شكل است

كه  در آن    p1 و p2 و ... اعداد اولند و k1 و k2 و ... اعداد صحيح مثبت است و از هر تركيب ايندو فقط يكبار  خواهيم داشت.  ولي بنا به قضيه بنيادين جبر، هر عدد صحيح مثبت را مي توانيم به فرم  نيز نشان دهيم. لذا سمت راست معادله  فقط ترتيبي متفاوت از  مي باشد كه همانا تابع زتاي اويلر مي باشد.

از اثبات  قضيه  سه نتيجه  حاصل شد:  اولا،  مجموع سري هارمونيك اعداد اول كه در بالا با فرمول  PH نشان داديم  بينهايت است،  ثانيا، قضيه اقليدس  در باره بينهايت بودن اعداد اول به طريقي نو و متفاوت اثبات گرديد و ثالثا،  كه بسيار مهمتر از دو نتيجه قبلي است،  با فرمول ضرب اويلر،  نظريه تحليلي اعداد  آغاز گرديد.

در سال 1837 ديريكله فرانسوي روش اويلر را تعميم داد تا اثبات شود  تعداد اعداد اول درهر تصاعد حسابي    كه a و k  داراي عامل مشترك نباشند بينهايت است. قضيه اقليدس يك حالت خاص از اين قضيه ديريكله  براي تصاعد حسابي اعداد فرد  1 و 3و 5 و 7  و ... است   كه در آن  a=1  و  k=2 مي باشد.   مهمترين تغييري كه ديريكله در روش اويلر ايجاد كرد، تغييري در تابع زتا بود بنحوي كه اعداد اول بر اساس باقيمانده تقسيم آنها بر k  در  طبقات جداگانه  اي از يكديگر جدا شوند . تابع تغيير يافته زتاي ديريكله چنين فرمي داشت

كه در آن   تابع ويژه اي است  كه ديريكله آنرا كاراكتر Character ناميد و اعداد اول را بنحو مطلوب از هم جدا مي سازد. از شروط اين تابع آنست كه براي هر m و n اين رابطه برقرار است : همچنين،   فقط به باقيمانده تقسيم n  به k  بستگي دارد و اگر صفر باشد، بدانمعني است كه m و n داري عامل مشترك مي باشند.

هر تابعي به شكل كه در آن s يك عدد حقيقي بزرگتر از 1 و    يك كاراكتر باشد به نام  سري  L ديريكله يا Dirichlet L-series ناميده مي شود. تابع زتاي ريمان حالت خاصي است كه از 1 =    و هر مقدار براي n بوجود مي آيد.

رياضيدانان بعد از ديريكله  اين مفاهيم را توسعه داده و اجازه دادند كه  s  و    هر مقدار مختلط نيز داشته باشند. با استفاده از اين وضعيت توسعه يافته توانستند نتايج بسيار گوناگون و فراواني را در باره اعداد اول بدست آورند و نشان دهند كه سري L ديريكله ابزار نيرومندي براي بررسي اعداد اول  است.

يك نتيجه كليدي درباره  توابع L اينست كه  اين توابع نيز مي توانند مانند تابع زتا بر حسب حاصلضرب  جملاتي حاوي اعداد اول  بيان شوند . مثلا

بشرطي كه بخش حقيقي   s منفي نباشد ،   p عدد اول و همه جملات به اين فرم  باشند

25/1/1388